미적분 예제

$\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt[3]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{3}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{t^{2}}$ 을(를) $t^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} t^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t^{3}}$ 을(를) $t^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 3.7.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

단계 3.8

$\frac{3}{2}$ 와 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.9

$2$ 와 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 3.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.11

$6 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

단계 3.12.4

$3 t^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}}$