미적분 예제

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

단계 1

$f (x) = x + 8$ , $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{24}{x} + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.2

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{24}{x}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.5

$- 1$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.6

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.7

$- 24 x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

단계 2.10

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

단계 2.11.2

$\frac{24}{x} + 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

단계 7

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3

항을 묶습니다.

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단계 8.3.1

$- 24$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.3

$x$ 와 $\frac{24}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.4

$x$ 의 왼쪽으로 $24$ 이동하기

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.5

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.5.2

$24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.6

$- 1$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.7

$- 24$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

단계 8.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

단계 8.3.9

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

단계 8.3.10

$- 8$ 와 $\frac{24}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

단계 8.3.11

$- 8$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

단계 8.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

단계 8.3.13

$- 24$ 를 $24$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

단계 8.3.14

$- \frac{192}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

단계 8.3.15

$\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

단계 8.3.16

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{192}{x}$ 을 곱합니다.

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

단계 8.3.17

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

단계 8.3.18

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

단계 8.3.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

단계 8.3.20

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$