미적분 예제

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x^{3} - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 9

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

단계 10

항을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

단계 10.2

$3$ 와 $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

단계 10.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

단계 10.4

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 10.5

$6 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 11

공약수로 약분합니다.

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단계 11.1

$3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

단계 11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$