미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x^{2}$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 48 x + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.3.3

$- 48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

단계 1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

단계 1.2.4.2

$12 x^{2} - 48$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 48$ 입니다.

$12 x^{2} - 48$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 48 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$12 x^{2} - 48 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $48$ 를 더합니다.

$12 x^{2} = 48$

단계 2.3

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$48$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 2.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 에 $2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

단계 3.1.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

단계 3.1.2.1.3

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

단계 3.1.2.1.4

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 96 + 24$

단계 3.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

$16$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 80 + 24$

단계 3.1.2.2.2

$- 80$ 를 $24$ 에 더합니다.

$f (2) = - 56$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $- 56$ 입니다.

$- 56$

단계 3.2

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 에 $2$ 을 대입하여 구한 점은 $(2, - 56)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(2, - 56)$

단계 3.3

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

단계 3.3.2.1.2

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

단계 3.3.2.1.3

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

단계 3.3.2.1.4

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

단계 3.3.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$16$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 80 - 24$

단계 3.3.2.2.2

$- 80$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 104$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $- 104$ 입니다.

$- 104$

단계 3.4

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ 에 $- 2$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 2, - 104)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 2, - 104)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

단계 5.2.2

$52.92$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (- 2.1) = 4.92$

단계 5.2.3

최종 답은 $4.92$ 입니다.

$4.92$

단계 5.3

$- 2.1$ 에서의 이계도함수는 $4.92$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 2, 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 48$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 48$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 48$ 입니다.

$- 48$

단계 6.3

$0$ 에서의 2차 미분값은 $- 48$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 2, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

단계 7.2.2

$52.92$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f'' (2.1) = 4.92$

단계 7.2.3

최종 답은 $4.92$ 입니다.

$4.92$

단계 7.3

$2.1$ 에서의 이계도함수는 $4.92$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

단계 9