미적분 예제

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

단계 1

$f (x) = x + 6$ , $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.6.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.9

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

단계 3.10.2

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

단계 5

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1.1

$x + 6$ 에 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

단계 7.1.1.2

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.1.2.1

${(x + 1)}^{2}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

단계 7.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

단계 7.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

단계 7.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.4.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.4.4

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.1.4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

단계 7.2.2

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

단계 7.2.3

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

단계 7.2.4

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

단계 7.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

단계 7.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$