미적분 예제

$y = x^{2} \sin (4 x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (4 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2

$\cos (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{2} (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 \cos (4 x)) + \sin (4 x) (2 x)$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} \cos (4 x) + 2 x \sin (4 x)$