미적분 예제

$\ln (x^{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

단계 2

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{x}$ 을 $e^{\ln (x^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

단계 2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{x})$ 을 전개합니다.

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 4

$e^{x \ln (x)}$ 와 $\frac{1}{x^{x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 5

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 7.4

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

단계 8.2

항을 묶습니다.

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단계 8.2.1

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

단계 8.2.2

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$