미적분 예제

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} - 6 x + 0$

단계 2.3.2

$3 x^{2} - 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 6 x$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 6 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 3.1

$3 x^{2} - 6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) - 6 x = 0$

단계 3.1.2

$- 6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

단계 3.1.3

$3 x (x) + 3 x (- 2)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x - 2) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 3.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 3.5

$3 x (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 2$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 을 $x = 0$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

단계 4.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

단계 4.2.1.3

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

단계 4.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 1$

단계 4.2.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

단계 4.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 5

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 을 $x = 2$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

단계 5.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

단계 5.2.1.3

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (2) = 8 - 12 + 1$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$8$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 4 + 1$

단계 5.2.2.2

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (2) = - 3$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

단계 6

함수 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 의 수평 접선은 $y = 1, y = - 3$ 입니다.

$y = 1, y = - 3$

단계 7