미적분 예제

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt{x - 7}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

먼저 $u = x - 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = x - 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$x - 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

단계 4.1.4

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u = x - 7$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 7 - 7$

단계 4.3

$7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = x - 7$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 8 - 7$

단계 4.5

$8$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$8$ , $7$ 일 때, $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

단계 6.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$8$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.4

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5

$7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.10

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.11

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.12.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.14

$\frac{16}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.15

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.16

$\frac{2}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.17

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.18

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 6.3.19

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.19.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

단계 6.3.19.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

단계 6.3.20

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

단계 6.3.21

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

단계 6.3.22

$0$ 에 $\frac{2}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

단계 6.3.23

$\frac{2}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

단계 6.3.24

$\frac{2}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.25

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.26

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.27

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{16}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.28

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.28.1

$\frac{16}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.28.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

단계 6.3.29

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

단계 6.3.30

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.30.1

$16$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{80 - 4}{15}$

단계 6.3.30.2

$80$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{76}{15}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{76}{15}$

소수 형태:

$5.0\overline{6}$

대분수 형식:

$5 \frac{1}{15}$

단계 8