미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \tan (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$2 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.2

$4 \tan^{2} (t) + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4 \tan^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.2.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.2.3

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.4

$4 \sec^{2} (t)$ 을 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$2 \sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$2 \sec^{2} (t)$ 에서 $2 \sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

단계 2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

단계 2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2 \tan (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

단계 2.2.2.2

$2 (\tan (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 2.2.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 3

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 4

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 5

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 7

간단히 합니다.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

단계 8

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 8.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

단계 12.2

간단히 합니다.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

단계 13.2

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

평면에 $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{x}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ 는 $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 입니다.

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.2

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.6.1

$4 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.6.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.6.3

분수 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.8

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

단계 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

단계 14.1.10

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

단계 14.1.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

단계 14.1.12

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

단계 14.1.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

단계 14.1.14

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.14.1

$4 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

단계 14.1.14.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

단계 14.1.14.3

분수 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

단계 14.1.15

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

단계 14.1.16

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

단계 14.1.17

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

단계 14.1.18

조합합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

단계 14.1.19

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

단계 14.1.20

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.21.1

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ 을 $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.2

${(4 + x^{2})}^{2}$ 로 인수분해합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.3

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.4

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.5

$4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.21.5.1

$4 \sqrt{4 + x^{2}}$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.5.2

$x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.21.5.3

$\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

단계 14.1.22

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

단계 14.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $24$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 에 $\frac{12}{12}$ 을 곱합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

단계 14.3.2

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

단계 14.5

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

$24$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

단계 14.5.2

공약수로 약분합니다.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

단계 14.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

단계 14.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1

$- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1.1

$- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

단계 14.6.1.2

$\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ 에서 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

단계 14.6.2

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

단계 14.6.3

$- 12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

단계 14.7

$- 8$ 을 $- 1 (8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

단계 14.8

$x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

단계 14.9

$- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

단계 14.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$