미적분 예제

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + x^{10}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 10 x^{9} d x$ 이므로 $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + x^{10}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + x^{10}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{10}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

단계 1.1.4

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 10 x^{9}$

단계 1.1.5

$0$ 를 $10 x^{9}$ 에 더합니다.

$10 x^{9}$

단계 1.2

$u = 1 + x^{10}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + x^{10}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

단계 2

$u^{9}$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

단계 3

$\frac{1}{10}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{10}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{9}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{10} u^{10}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{10} u^{10}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 를 $10$ 승 합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.2

$\frac{1}{10}$ 와 $1024$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.3

$1024$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

$1024$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

단계 5.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

단계 5.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

단계 5.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{512}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

단계 5.2.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $10$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.2.7.1

$\frac{512}{5}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

단계 5.2.7.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

단계 5.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

단계 5.2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.9.1

$512$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

단계 5.2.9.2

$1024$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

단계 5.2.10

$\frac{1}{10}$ 에 $\frac{1023}{10}$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

단계 5.2.11

$10$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{1023}{100}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1023}{100}$

소수 형태:

$10.23$

대분수 형식:

$10 \frac{23}{100}$

단계 7