미적분 예제

$\int x^{3} \sin (x) d x$

단계 1

$u = x^{3}$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x$

단계 2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x$

단계 3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x)$

단계 4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x$

단계 5

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x)$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x))$

단계 7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x)$

단계 8

$u = x$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x))$

단계 9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x))$

단계 10.2

$\int \cos (x) d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x))$

단계 11

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$

단계 12

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$ 을 $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$