미적분 예제

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

단계 1

배각 공식을 사용하여 $\cos (x)$ 를 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 2

피타고라스의 정리를 사용하여 $1$ 을(를) $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ (으)로 변환합니다.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 에서 ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

단계 3.2

${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 를 ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

단계 3.3

$2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 4

인수에 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ 을(를) 곱합니다.

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 5

조합합니다.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 7

$\sec (\frac{x}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

단계 8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8.2

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

단계 8.3

식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

단계 8.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

단계 10

먼저 $u = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 10.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 10.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

단계 11.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

단계 11.3

$\sec^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

단계 12

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

단계 13.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

단계 13.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

단계 13.3

$\int \sec^{2} (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \sec^{2} (u) d u$

단계 14

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$\tan (u) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$