미적분 예제

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt{4 - x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.3

${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 3

$- \frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 5

먼저 $u = 4 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 4 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$4 - x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

단계 5.1.2

미분합니다.

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단계 5.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 5.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 5.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 8.2

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ 을 $- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 8.3

간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$x$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 8.3.2

${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{x \cdot 2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 8.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 8.3.4

${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 8.3.5

$u^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

단계 8.3.6

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

단계 8.3.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

단계 8.3.8

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 8.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 8.3.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.3.10.1

$\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 8.3.10.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 8.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 8.3.12

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{15} (- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$