미적분 예제

$\int x \sin (4 x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sin (4 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\cos (4 x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{\cos (4 x)}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

단계 3

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

단계 4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

단계 5

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 5.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 5.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

단계 6

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

단계 8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

단계 9

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ 을 $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

단계 10.2.2

$\cos (4 x)$ 와 $\frac{x}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

단계 12

$\frac{\cos (4 x) x}{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$