미적분 예제

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 2) e^{- x} d x$

단계 1

$u = x^{2} + 2$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

단계 2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

단계 3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

단계 4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = e^{- x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

단계 7.2

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

단계 8

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 8.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 8.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 8.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 8.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 8.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

단계 8.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

단계 10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$(x^{2} + 2) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ , $0$ 일 때, $(x^{2} + 2) (- e^{- x})$ 값을 계산합니다.

$((1^{2} + 2) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

단계 11.2

$1$ , $0$ 일 때, $x (- e^{- x})$ 값을 계산합니다.

$((1^{2} + 2) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

단계 11.3

$- 1$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$((1^{2} + 2) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4

간단히 합니다.

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단계 11.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$(1 + 2) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} - (0^{2} + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 3 e^{- 1} - (0 + 2) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.6

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 3 e^{- 1} - 1 \cdot 2 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} - 2 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.8

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} - 2 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 3 e^{- 1} - 2 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} - 2 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.13

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.15

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.17

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.18

$- e^{- 1}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

단계 11.4.19

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

단계 11.4.20

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 1} + 2 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{e} + 2 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

단계 12.1.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{e} + 2 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

단계 12.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

단계 12.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

단계 12.1.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

단계 12.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

단계 12.1.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

단계 12.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

단계 12.1.6

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

단계 12.1.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

단계 12.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

단계 12.1.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

단계 12.1.10

$2 (- \frac{2}{e})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

단계 12.1.10.2

$- 2$ 와 $\frac{2}{e}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

단계 12.1.10.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 + \frac{- 4}{e}$

단계 12.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{e} + 2 + 2 - \frac{4}{e}$

단계 12.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 + 2 + \frac{- 3 - 4}{e}$

단계 12.3

$- 3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$2 + 2 + \frac{- 7}{e}$

단계 12.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 + 2 - \frac{7}{e}$

단계 12.5

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 - \frac{7}{e}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$4 - \frac{7}{e}$

소수 형태:

$1.42484391 \dots$

단계 14