미적분 예제

x {(x - 4)}^{3}

$x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

f (x) = x

$f (x) = x$ ,

g (x) = {(x - 4)}^{3}

$g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$ ,

g (x) = x - 4

$g (x) = x - 4$ 일 때

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는

$f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해

$u$ 를

$x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는

$n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두

$x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해

$x - 4$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$- 4$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 4$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 4$ 입니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$1$ 를

$0$ 에 더합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4.2

$3$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

단계 1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 에서

${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ 에서

${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

단계 1.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ 에서

${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 1.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서

${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로

$3$ 이동하기

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

단계 1.4.2.2

$3 x$ 를

$x$ 에 더합니다.

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ 을

$(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여

$(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.5.1.1

$x$ 에

$x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로

$- 4$ 이동하기

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.1.3

$- 4$ 에

$- 4$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.2

$- 4 x$ 에서

$4 x$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2

지수를 더하여

$x^{2}$ 에

$x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.2

$x$ 에

$x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.2.2.1

$x$ 를

$1$ 승 합니다.

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.2.2

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.3

$1$ 를

$2$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로

$- 4$ 이동하기

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.5

지수를 더하여

$x$ 에

$x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.5.2

$x$ 에

$x$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.6

$- 8$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.7

$- 4$ 에

$- 8$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.8

$4$ 에

$16$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.9

$16$ 에

$- 4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 1.4.8

$- 4 x^{2}$ 에서

$32 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 1.4.9

$32 x$ 를

$64 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$4 x^{3}$ 의 미분은

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.2.3

$3$ 에

$4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 36$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- 36 x^{2}$ 의 미분은

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.3.3

$2$ 에

$- 36$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$96$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$96 x$ 의 미분은

$96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.4.3

$96$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 64]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 64$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 64$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 64$ 입니다.

$12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

단계 2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$12 x^{2}$ 의 미분은

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.2.3

$2$ 에

$12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 72$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$- 72 x$ 의 미분은

$- 72 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.3.3

$- 72$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$24 x - 72 + \frac{d}{d x} [96]$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$96$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$96$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$96$ 입니다.

$24 x - 72 + 0$

단계 3.4.2

$24 x - 72$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24 x - 72$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해

$24 x - 72$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$24$ 은

$x$ 에 대해 일정하므로

$x$ 에 대한

$24 x$ 의 미분은

$24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는

$n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]$

단계 4.2.3

$24$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$24 + \frac{d}{d x} [- 72]$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 72$ 이

$x$ 에 대해 일정하므로,

$- 72$ 를

$x$ 에 대해 미분하면

$- 72$ 입니다.

$24 + 0$

단계 4.3.2

$24$ 를

$0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 24$