미적분 예제

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

단계 1

$f (t) = - 1$ , $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ 을 ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2

${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 3

$f (t) = t^{- 2}$ , $g (t) = 3 + t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 + t$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 3.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 + t$ 로 바꿉니다.

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $3 + t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ 가 됩니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.3

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.4

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t]$ 에 더합니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 4.7

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

단계 4.8

식을 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

단계 4.8.2

$2 {(3 + t)}^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

단계 5.2

$2$ 와 $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$