미적분 예제

$\frac{3 - x e^{x}}{x + e^{x}}$

단계 1

$f (x) = 3 - x e^{x}$ , $g (x) = x + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 - x e^{x}] - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 - x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(x + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{x}]) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{(x + e^{x}) \frac{d}{d x} [- x e^{x}] - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [x e^{x}]) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 5.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (3 - x e^{x}) \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 5.3

합의 법칙에 의해 $x + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (3 - x e^{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (3 - x e^{x}) (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x} + e^{x})) - (3 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) - (3 - x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + e^{x}) (- (x e^{x}) - e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + e^{x}) (- x e^{x} - e^{x})$ 를 전개합니다.

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단계 7.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- x e^{x} - e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x} - e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (- x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x (x e^{x}) + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- (x \cdot x) e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} + x (- e^{x}) + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} + e^{x} (- x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x} (x e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.2.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - (e^{x} e^{x}) x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{x + x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.5.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.7

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.2.7.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - (e^{x} e^{x}) + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{x + x} + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.2.7.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 1 \cdot 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 3 - (- x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.3.2

$- (- x e^{x})$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.3.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 3 + 1 (x e^{x})) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.3.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} + (- 3 + x e^{x}) (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 3 + x e^{x}) (1 + e^{x})$ 를 전개합니다.

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단계 7.3.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 (1 + e^{x}) + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 \cdot 1 - 3 e^{x} + x e^{x} (1 + e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 \cdot 1 - 3 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.5.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} \cdot 1 + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.5.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} + x e^{x} e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.5.3

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.5.3.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} + x (e^{x} e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.5.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} + x e^{x + x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.1.5.3.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.2

$- x^{2} e^{x} - x e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{x} + x e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.3.2.1

$- x e^{x}$ 를 $x e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.2.2

$- x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + x e^{2 x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.2.3

인수가 항 $- e^{2 x} x$ 과(와) $x e^{2 x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} x - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x} + e^{2 x} x}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.2.4

$- e^{2 x} x$ 를 $e^{2 x} x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} + 0 - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.3.2.5

$- x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} e^{x} - e^{2 x} - 3 - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{x} x^{2} - 3 - e^{2 x} - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.5

$- e^{x} x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 3 - e^{2 x} - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.6

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2}) - 1 (3) - e^{2 x} - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.7

$- (e^{x} x^{2}) - 1 (3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 3) - e^{2 x} - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.8

$- e^{2 x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 3) - (e^{2 x}) - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.9

$- (e^{x} x^{2} + 3) - (e^{2 x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x}) - 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.10

$- 3 e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x}) - (3 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.11

$- (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x}) - (3 e^{x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.12

$- (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x})$ 을 $- 1 (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x})}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$

단계 7.14

$- \frac{e^{x} x^{2} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x^{2} e^{x} + 3 + e^{2 x} + 3 e^{x}}{{(x + e^{x})}^{2}}$