미적분 예제

$x^{2} + 6 y^{2} + 6 y = 20$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 y^{2} + 6 y) = \frac{d}{d x} (20)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 6 y^{2} + 6 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 y^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 6 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$2 x + 12 y y' + \frac{d}{d x} [6 y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [6 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 y$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$2 x + 12 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x + 12 y y' + 6 y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$12 y y' + 2 x + 6 y'$

단계 3

$20$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $20$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $20$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$12 y y' + 2 x + 6 y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$12 y y' + 6 y' = - 2 x$

단계 5.2

$12 y y' + 6 y'$ 에서 $6 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12 y y'$ 에서 $6 y'$ 를 인수분해합니다.

$6 y' (2 y) + 6 y' = - 2 x$

단계 5.2.2

$6 y'$ 에서 $6 y'$ 를 인수분해합니다.

$6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1 = - 2 x$

단계 5.2.3

$6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1$ 에서 $6 y'$ 를 인수분해합니다.

$6 y' (2 y + 1) = - 2 x$

단계 5.3

$6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ 의 각 항을 $6 (2 y + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ 의 각 항을 $6 (2 y + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.2.2

$2 y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (2 y + 1)}$

단계 5.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.2.1

$6 (2 y + 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

단계 5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

단계 5.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{3 (2 y + 1)}$

단계 5.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$