미적분 예제

$x^{2} - 4 x y + y^{2} = 4$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4 x y + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x y$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ 입니다.

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 y y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y'$

단계 2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y'$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y$

단계 3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 4 x y' + 2 y y' + 2 x - 4 y = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y = - 2 x$

단계 5.1.2

방정식의 양변에 $4 y$ 를 더합니다.

$- 4 x y' + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

단계 5.2

$- 4 x y' + 2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 4 x y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) + 2 y y' = - 2 x + 4 y$

단계 5.2.2

$2 y y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x) + 2 y' y = - 2 x + 4 y$

단계 5.2.3

$2 y' (- 2 x) + 2 y' y$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$

단계 5.3

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ 의 각 항을 $2 (- 2 x + y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2 y' (- 2 x + y) = - 2 x + 4 y$ 의 각 항을 $2 (- 2 x + y)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y' (- 2 x + y)}{2 (- 2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.2.2

$- 2 x + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (- 2 x + y)} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{4 y}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.3

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.1

$4 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 (2 y)}{2 (- 2 x + y)}$

단계 5.3.3.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{x}{- 2 x + y} + \frac{2 y}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- x + 2 y}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x) + 2 y}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2.3

$2 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x) - (- 2 y)}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2.4

$- (x) - (- 2 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2.5

$- (x - 2 y)$ 을 $- 1 (x - 2 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 2 x + y}$

단계 5.3.3.2.6

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) + y}$

단계 5.3.3.2.7

$y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x) - 1 (- y)}$

단계 5.3.3.2.8

$- (2 x) - 1 (- y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- (2 x - y)}$

단계 5.3.3.2.9

$- (2 x - y)$ 을 $- 1 (2 x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

단계 5.3.3.2.10

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{- 1 (x - 2 y)}{- 1 (2 x - y)}$

단계 5.3.3.2.11

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 x - y}$