미적분 예제

$\ln (e^{x} + x e^{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} + x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $e^{x} + x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{x} + x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 6.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

단계 6.2.2

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

단계 7.2

$e^{x} + x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

단계 7.2.2

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

단계 7.2.3

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.3

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에 $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.4

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.4.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.4.2

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.4.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.5

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

단계 7.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 2}{1 + x}$