미적분 예제

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

단계 1

$f (t) = e^{- t}$ , $g (t) = 1 + t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 2

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.3.2

$(1 + t^{2}) e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 1 (1 + t^{2})$ 을 $- (1 + t^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 + t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.6

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4.3.2

$- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.5.1.1

$- e^{- t} t^{2}$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.2

$- 2 e^{- t} t$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.3

$- e^{- t}$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.4

$e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.5

$e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ 에서 $e^{- t}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 4.5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 이고 합이 $b = - 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 4.5.2.1.1

$- 2 t$ 에서 $- 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.1.2

$- 2$ 를 $- 1$ + $- 1$ 로 다시 씁니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.5.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.2.3

최대공약수 $- t - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3

지수를 묶습니다.

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단계 4.5.3.1

$- t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.2

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.3

$- (t) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.4

$- (t + 1)$ 을 $- 1 (t + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.5

$t + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.6

$t + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.4

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$