미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$

단계 1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$

단계 2

$f (x) = x^{3} + x + 4$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 4] - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.5

$3 x^{2} + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$

단계 3.7.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.2

$3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.2.2

$3 x^{3} - x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

단계 4.3.3

$3 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

단계 4.4

$2 x^{3} - 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

$2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3}) - 4}{2 x^{2}}$

단계 4.4.2

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2}}$

단계 4.4.3

$2 (x^{3}) + 2 (- 2)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

단계 4.4.4

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.1

$2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 (x^{2})}$

단계 4.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

단계 4.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} - 2}{x^{2}}$