미적분 예제

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3

곱합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.5.2

$2 x + x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

단계 4.7

$x^{2} - \frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $x (2 x + x^{- 2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

단계 7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

단계 8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

단계 10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.3

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

단계 11.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

단계 11.3.5

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

단계 11.3.6

$2 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

단계 11.3.7

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.7.1

$2 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

단계 11.3.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

단계 11.3.7.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

단계 11.3.7.2.3

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

단계 11.3.7.2.4

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

단계 11.3.7.2.5

$2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 2 x^{2}$

단계 11.3.8

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$