미적분 예제

$\log_{5} (x e^{x})$

단계 1

$f (x) = \log_{5} (x)$ , $g (x) = x e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 1.2

$\log_{5} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (5)}$ 입니다.

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 4.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.2

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.4

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

단계 5.2.5

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

단계 5.2.6

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

단계 5.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$