미적분 예제

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x^{2} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 2.8.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.1.1

$2 x^{2} x$ 에서 $2 x^{2} x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.1.2

$2 \cdot - 1 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5.3

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

단계 3.7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

단계 3.7.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$