미적분 예제

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

단계 2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

단계 2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

단계 2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

단계 2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ 을(를) ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.3.2

${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 3.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 3.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 4.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x + x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 8.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 9.2

${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

단계 9.4

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

단계 9.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

단계 10

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

단계 12

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

단계 13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 14

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 16

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

단계 16.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 17

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.4

$- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 18.5.1

$- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.5.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5.1.2

$- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5.1.3

$- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5.1.4

$- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 을 $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.7

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

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단계 18.7.1

$\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

단계 18.7.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$