미적분 예제

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\cos (x) - \sin (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\cos (x) - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

단계 4

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 5.2

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 6

분수를 나눕니다.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 8

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 9

분수를 나눕니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 11

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

단계 12

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$1 - \tan (x) = 0$

단계 13

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \tan (x) = - 1$

단계 14

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 14.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 14.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 14.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = 1$

단계 15

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (1)$

단계 16

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 17

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 18

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 18.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 18.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 18.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 18.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 19

방정식 $x = \frac{π}{4}$ 의 해.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

단계 20

$x = \frac{π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

단계 21

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

단계 21.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 21.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

단계 21.2.2

$- \sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 21.2.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

단계 21.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

단계 21.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

단계 21.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

단계 21.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \sqrt{2}$

단계 22

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다

단계 23

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

단계 23.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

단계 23.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 23.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

단계 23.2.2.2

$\sqrt{2}$ 를 $\sqrt{2}$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 23.2.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.2.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 23.2.2.3.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

단계 23.2.3

최종 답은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$y = \sqrt{2}$

단계 24

$x = \frac{5 π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 25

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 25.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 25.1.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 25.1.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 25.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

단계 25.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 25.1.6

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 25.1.6.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 25.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

단계 25.2.2

$\sqrt{2}$ 를 $\sqrt{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 25.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 25.2.3.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sqrt{2}$

단계 26

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{5 π}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 27

$x = \frac{5 π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 27.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 27.2.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

단계 27.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 27.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

단계 27.2.2.2

$- \sqrt{2}$ 에서 $\sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

단계 27.2.2.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.3.1

$- 2 \sqrt{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

단계 27.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

단계 27.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

단계 27.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

단계 27.2.2.3.2.4

$- \sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

단계 27.2.3

최종 답은 $- \sqrt{2}$ 입니다.

$y = - \sqrt{2}$

단계 28

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ 은 극댓값임

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ 은 극솟값임

단계 29