미적분 예제

$y = x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

단계 1.3.6

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

단계 1.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 1.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

단계 1.4.2.2

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 1.4.3

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.4.5.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 1.4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.4.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.6

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.7

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.8

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

단계 1.4.7.9

$16$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 1.4.8

$- 4 x^{2}$ 에서 $32 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 1.4.9

$32 x$ 를 $64 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{2}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$96$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $96 x$ 의 미분은 $96 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.4.3

$96$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$- 64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 64$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

단계 2.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 72 x + 96$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 72$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 72 x$ 의 미분은 $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.3.3

$- 72$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

단계 3.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$96$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $96$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $96$ 입니다.

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

단계 3.4.2

$24 x - 72$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24 x - 72$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $24 x - 72$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

단계 4.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

단계 4.2.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

단계 4.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 72$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 72$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 72$ 입니다.

$f^{4} (x) = 24 + 0$

단계 4.3.2

$24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 24$