미적분 예제

$\int \frac{e^{u}}{{(6 - e^{u})}^{2}} d u$

단계 1

먼저 $u_{1} = 6 - e^{u}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = - e^{u} d u$ 이므로 $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 6 - e^{u}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d u}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$6 - e^{u}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u} [6 - e^{u}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $6 - e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u} [6] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u} [6] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

단계 1.1.2.2

$6$ 이 $u$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 일정하므로 $u$ 에 대한 $- e^{u}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

단계 1.1.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - e^{u}$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $e^{u}$ 을 뺍니다.

$- e^{u}$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

${u_{1}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

단계 4.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

단계 5

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- 2}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{1}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ 을 $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

단계 6.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{u_{1}} + C$

단계 7

$u_{1}$ 를 모두 $6 - e^{u}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6 - e^{u}} + C$