미적분 예제

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 4 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 4 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $4 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$4 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.1.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.2

$16$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.3

$- 16 \sin^{2} (t)$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.4

$16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.6

$16 \cos^{2} (t)$ 을 ${(4 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 2.2.3

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 2.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

단계 3

$16$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 6.2.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$8 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

단계 9

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 9.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 9.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 9.2

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

단계 9.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$- \frac{π}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 9.3.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 9.3.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = - π$

단계 9.4

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 9.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 9.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 9.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

단계 9.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 11

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (u)]_{- π}^{π}$ 을 묶습니다.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{π}{2}$ , $- \frac{π}{2}$ 일 때, $t$ 값을 계산합니다.

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

단계 14.2

$π$ , $- π$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 14.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 14.3.2

$π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 14.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 14.3.3.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$8 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$8 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

단계 15.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$8 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

단계 15.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$8 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

단계 15.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$8 (π + \frac{0 - 0}{2})$

단계 15.1.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$8 (π + \frac{0 + 0}{2})$

단계 15.1.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 (π + \frac{0}{2})$

단계 15.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$8 (π + 0)$

단계 16

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 π$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$8 π$

소수 형태:

$25.13274122 \dots$

단계 18