미적분 예제

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

단계 1

$u = \arctan (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 2

$x$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 3

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 3.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 3.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 3.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 3.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 4.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$1$ , $0$ 일 때, $\arctan (x) x$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

단계 7.2

$2$ , $1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\arctan (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 7.3.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 7.3.3

$0$ 에 $\arctan (0)$ 을 곱합니다.

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

단계 7.3.4

$\arctan (1)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

단계 8.2

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

단계 9.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

단계 9.3

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

단계 10

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

소수 형태:

$0.43882457 \dots$