미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x - 1}$ 을(를) ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.3

${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

단계 1.5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

단계 1.5.2

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

단계 1.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.6.3

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.11

분수를 통분합니다.

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단계 1.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

단계 1.11.4

$\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

단계 1.12

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

단계 1.13

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

단계 1.14

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

단계 1.15

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

단계 1.16

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

단계 1.17

항을 간단히 합니다.

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단계 1.17.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

단계 1.17.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.17.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.17.4

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.18

공약수로 약분합니다.

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단계 1.18.1

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

단계 1.18.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.18.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.20

공통 분모를 가지는 분수로 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.22

지수를 더하여 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.22.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.22.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.22.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.22.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.23

${(2 x - 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.24

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

단계 1.25

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

단계 1.26

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2 x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

단계 1.27

지수를 더하여 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $2 x - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.27.1

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $2 x - 1$ 을 곱합니다.

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단계 1.27.1.1

$2 x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

단계 1.27.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 1.27.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 1.27.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 1.27.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

단계 3.2.1.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

단계 3.2.1.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (1) = \frac{1}{1}$

단계 3.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = 1$

단계 3.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4

함수 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ 의 수평 접선은 $y = 1$ 입니다.

$y = 1$

단계 5