미적분 예제

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 2 x^{2} + 3$ , $g (x) = 4 x^{2} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$4 x^{2} + 5$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.7

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.8

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.10

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.11

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.12.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.2.12.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.5

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.1.6

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.2

$16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.5.2.1

$16 x^{3}$ 에서 $16 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.2.2

$20 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.5.3

$20 x$ 에서 $24 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 1.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.3.3

${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 x^{2} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.5.2

${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ 에서 $4 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 에서 $4 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.5.2.2

$- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ 에서 $4 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.5.2.3

$(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ 에서 $4 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

단계 2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ 에서 $4 x^{2} + 5$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.8

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.10

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.11

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.12.2

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.17

$4 x^{2}$ 에서 $16 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.18

$- 4$ 와 $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.20.2.1

$- 12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.2.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.3

$- 48 x^{2} + 20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.20.3.1

$- 48 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.3.2

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.3.3

$4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.4

$- 12 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.5

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.6

$- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.7

$- (12 x^{2} - 5)$ 을 $- 1 (12 x^{2} - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 2.20.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

단계 2.20.10

$\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.6.2

$4 x^{2} + 5$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.7

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.8

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.10

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.11

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.12.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.2.12.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.5

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.1.6

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.2

$16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.5.2.1

$16 x^{3}$ 에서 $16 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.2.2

$20 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.5.3

$20 x$ 에서 $24 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.1.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$4 x = 0$

단계 5.3

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 5.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

단계 9.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

단계 9.1.3

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

단계 9.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

단계 9.2.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

단계 9.2.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

단계 9.2.4

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

단계 9.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20}{125}$

단계 9.3.2

$- 20$ 및 $125$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$- 20$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 4)}{125}$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.2.1

$125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

단계 9.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

단계 9.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 4}{25}$

단계 9.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{25}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

단계 11.2.1.2

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

단계 11.2.1.3

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

단계 11.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

단계 11.2.2.2

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

단계 11.2.2.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (0) = \frac{3}{5}$

단계 11.2.3

최종 답은 $\frac{3}{5}$ 입니다.

$y = \frac{3}{5}$

단계 12

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, \frac{3}{5})$ 은 극댓값임

단계 13