미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.1.1

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $\sin^{2} (x)$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.1.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

간단히 합니다.

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단계 1.3.4.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.3

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.4

사인 배각 공식을 적용합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

단계 1.4

$\sin (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

단계 2.2

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\sin (2 \cdot 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\sin (0)$

단계 4.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$0$