미적분 예제

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$81 x = x^{5}$

단계 1.2

$81 x = x^{5}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x^{5}$ 를 뺍니다.

$81 x - x^{5} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$81 x - x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

$81 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

단계 1.2.2.1.2

$- x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

단계 1.2.2.1.3

$x \cdot 81 + x (- x^{4})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (81 - x^{4}) = 0$

단계 1.2.2.2

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

단계 1.2.2.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

단계 1.2.2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 9$ 이고 $b = x^{2}$ 입니다.

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

단계 1.2.2.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

단계 1.2.2.5.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.5.1.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

단계 1.2.2.5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

단계 1.2.2.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

단계 1.2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.5

$9 + x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$9 + x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$9 + x^{2} = 0$

단계 1.2.5.2

$9 + x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 9$

단계 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 1.2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 1.2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 1.2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 1.2.5.2.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 1.2.5.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 1.2.5.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 1.2.5.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 1.2.5.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 1.2.5.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 1.2.6

$3 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$3 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 + x = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 1.2.7

$3 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$3 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 - x = 0$

단계 1.2.7.2

$3 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 1.2.7.2.2

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.2.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.7.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 1.2.7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.2.2.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 1.2.8

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = {(0)}^{5}$

단계 1.3.2

$y = {(0)}^{5}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 0^{5}$

단계 1.3.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 3 i$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $3 i$ 를 대입합니다.

$y = {(3 i)}^{5}$

단계 1.4.2

${(3 i)}^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$3 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = 3^{5} i^{5}$

단계 1.4.2.2

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$y = 243 i^{5}$

단계 1.4.2.3

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$y = 243 (i^{4} i)$

단계 1.4.2.4

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.4.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

단계 1.4.2.4.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

단계 1.4.2.4.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 243 (1 i)$

단계 1.4.2.5

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 243 i$

단계 1.5

$x = - 3 i$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x$ 에 $- 3 i$ 를 대입합니다.

$y = {(- 3 i)}^{5}$

단계 1.5.2

${(- 3 i)}^{5}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$- 3 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

단계 1.5.2.2

$- 3$ 를 $5$ 승 합니다.

$y = - 243 i^{5}$

단계 1.5.2.3

$i^{4}$ 로 인수분해합니다.

$y = - 243 (i^{4} i)$

단계 1.5.2.4

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.4.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

단계 1.5.2.4.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

단계 1.5.2.4.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = - 243 (1 i)$

단계 1.5.2.5

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - 243 i$

단계 1.6

$x = - 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$y = {(- 3)}^{5}$

단계 1.6.2

$- 3$ 를 $5$ 승 합니다.

$y = - 243$

단계 1.7

$x = 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = {(3)}^{5}$

단계 1.7.2

$y = {(3)}^{5}$ 에서 $x$ 에 $3$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 3^{5}$

단계 1.7.2.2

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$y = 243$

단계 1.8

모든 해를 나열합니다.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

단계 3

$0$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

단계 3.4

$81$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $81$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

단계 3.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

단계 3.7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

단계 3.8

멱의 법칙에 의해 $x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} x^{6}$ 가 됩니다.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{6}$ 을 묶습니다.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

단계 3.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

단계 3.9.2.2

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{6}}{6}$ 값을 계산합니다.

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.3

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.3.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.5

$\frac{9}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.6

$81$ 와 $\frac{9}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.7

$81$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.8

$3$ 를 $6$ 승 합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.9

$729$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.1

$729$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.9.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

단계 3.9.2.3.10

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

단계 3.9.2.3.11

$0$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.1

$0$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

단계 3.9.2.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.11.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

단계 3.9.2.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

단계 3.9.2.3.11.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

단계 3.9.2.3.12

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

단계 3.9.2.3.13

$\frac{243}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

단계 3.9.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{729 - 243}{2}$

단계 3.9.2.3.15

$729$ 에서 $243$ 을 뺍니다.

$\frac{486}{2}$

단계 3.9.2.3.16

$486$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.16.1

$486$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

단계 3.9.2.3.16.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.16.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

단계 3.9.2.3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.2.3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{243}{1}$

단계 3.9.2.3.16.2.4

$243$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$243$

단계 4