미적분 예제

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

단계 1

$f (x) = e^{- x} + 1$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

단계 2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $e^{- x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 4.5

$- e^{- x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 5.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 6

$e^{0} \cdot - 1$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

단계 7

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.1.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.1.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.2

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.4

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.3.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.4

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

단계 8.5

$- e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

단계 8.6

$- 1 (2) - (e^{x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

단계 8.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$