미적분 예제

$y = \sin (\tan (7 x))$

단계 1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \tan (7 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (7 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

단계 1.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (7 x)$ 로 바꿉니다.

$\cos (\tan (7 x)) \frac{d}{d x} [\tan (7 x)]$

단계 2

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (\tan (7 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 2.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (\tan (7 x)) (\sec^{2} (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x) (7 \cdot 1)$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x) \cdot 7$

단계 3.3.2

$\cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$7 \cdot (\cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$7 \cos (\tan (7 x)) \sec^{2} (7 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$7 \sec^{2} (7 x) \cos (\tan (7 x))$

단계 4.2

$\sec (7 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$7 {(\frac{1}{\cos (7 x)})}^{2} \cos (\tan (7 x))$

단계 4.3

$\frac{1}{\cos (7 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$7 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

단계 4.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$7 \frac{1}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

단계 4.5

$7$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (7 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{\cos^{2} (7 x)} \cos (\tan (7 x))$

단계 4.6

$\frac{7}{\cos^{2} (7 x)}$ 와 $\cos (\tan (7 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{7 \cos (\tan (7 x))}{\cos^{2} (7 x)}$

단계 4.7

$\cos^{2} (7 x)$ 에서 $\cos (7 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 \cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x) \cos (7 x)}$

단계 4.8

분수를 나눕니다.

$\frac{7}{\cos (7 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x)}$

단계 4.9

$\frac{\cos (\tan (7 x))}{\cos (7 x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \frac{1}{\cos (7 x)})$

단계 4.10

$\cos (\tan (7 x))$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\frac{\cos (\tan (7 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (7 x)})$

단계 4.11

간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$\cos (\tan (7 x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \frac{1}{\cos (7 x)})$

단계 4.11.2

$\frac{1}{\cos (7 x)}$ 을 $\sec (7 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{7}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

단계 4.12

분수를 나눕니다.

$\frac{7}{1} \cdot \frac{1}{\cos (7 x)} (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

단계 4.13

$\frac{1}{\cos (7 x)}$ 을 $\sec (7 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{7}{1} \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

단계 4.14

$7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$

단계 4.15

$7 \sec (7 x) (\cos (\tan (7 x)) \sec (7 x))$ 을 곱합니다.

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단계 4.15.1

$\sec (7 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 (\sec^{1} (7 x) \sec (7 x)) \cos (\tan (7 x))$

단계 4.15.2

$\sec (7 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 (\sec^{1} (7 x) \sec^{1} (7 x)) \cos (\tan (7 x))$

단계 4.15.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 {\sec (7 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (7 x))$

단계 4.15.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$7 \sec^{2} (7 x) \cos (\tan (7 x))$