미적분 예제

$\frac{x + y}{x - y}$

단계 1

$f (x) = x + y$ , $g (x) = x - y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.3

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x - y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.7

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

단계 2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$x - y - x - y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

$- y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.2.2

$- y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$