미적분 예제

$\ln (x - \sqrt{x^{2} - 1})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 을(를) ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$

단계 10

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

단계 12

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

단계 13

항을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

단계 13.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

단계 13.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

단계 13.4

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 13.5

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 14

공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.2

$1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.3

분수의 분자와 분모에 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 16.3.1

$\frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.3.2

조합합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.5

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.5.1

$- \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{- x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.5.2

공약수로 약분합니다.

단계 16.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.6

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.7

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 16.7.1

수식을 다시 정렬합니다.

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단계 16.7.1.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.7.1.2

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.7.2

$x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.7.3

$- 1 \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.7.4

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.8

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.9

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.10

$- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (- {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.12

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 16.13

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 16.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$