미적분 예제

$\sin^{-1} (x)$

단계 1

$u = \sin^{-1} (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sin^{-1} (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 2

$x$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 3

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 3.1.2

미분합니다.

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단계 3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 3.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 3.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin^{-1} (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 4.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\sin^{-1} (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 4.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\sin^{-1} (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin^{-1} (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\sin^{-1} (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 6.2

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin^{-1} (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 8

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 8.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 8.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 8.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 10

$\sin^{-1} (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 을 $\sin^{-1} (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\sin^{-1} (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\sin^{-1} (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$