미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

단계 1

먼저 $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.3.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.4.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.4.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

단계 1.1.4.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

단계 1.1.4.5

$e^{- 2 x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

단계 1.2

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

단계 1.3.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

단계 1.3.1.3

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

단계 1.3.1.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

단계 1.5.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

단계 1.5.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

단계 1.7

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u_{3}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

단계 2.2

$u_{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

단계 4

$\frac{1}{u_{3}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{3} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

단계 5

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ , $2$ 일 때, $\ln (| u_{3} |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ 은 약 $7.52439138$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

단계 7.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

단계 7.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

단계 7.1.4

지수를 더하여 $e^{2}$ 에 $e^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

단계 7.1.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

단계 7.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $2$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

단계 7.4

$\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

단계 7.5

$e^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

소수 형태:

$0.66250137 \dots$

단계 9