미적분 예제

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 9} d x$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 9} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{2} + 9$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = x^{2} + 9$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x^{2} + 9$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [9]$

단계 2.1.4

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 3.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 5.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

단계 5.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u |) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

$2 \ln (| u |) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x^{2} + 9 |) + C$