미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 1.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u^{3}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

단계 2.2

$u^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$2$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 6.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 6.2.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 6.2.4

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 6.2.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 6.2.6

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

단계 6.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

단계 6.2.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.2.8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

단계 6.2.8.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

단계 6.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

단계 6.2.10

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

단계 6.2.11

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

단계 6.2.12

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{16}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3}{16}$

소수 형태:

$0.1875$

단계 8