미적분 예제

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 2.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{- 2} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- u^{- 1} + C$

단계 4

$- u^{- 1} + C$ 을 $- \frac{1}{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{u} + C$

단계 5

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sin (x)} + C$

단계 6

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- \csc (x) + C$