미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 을(를) ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

단계 1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

단계 1.10

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 1.11

항을 간단히 합니다.

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단계 1.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

단계 1.11.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

단계 1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.4

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.11.5

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2

${({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.3

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.4.2

${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.10

분수를 통분합니다.

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단계 2.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.10.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

단계 2.11

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{x^{2} + 9}$

단계 2.13

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 9}$

단계 2.14

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 9}$

단계 2.14.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 9}$

단계 2.14.3

$- 2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 9}$

단계 2.14.4

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.16

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.19

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.20

공약수로 약분합니다.

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단계 2.20.1

$2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 9}$

단계 2.20.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.20.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.22

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.24

지수를 더하여 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.24.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.24.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.24.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.24.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 9) - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.25

${(x^{2} + 9)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 9 - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.26

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.27

$0$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

단계 2.28

$\frac{\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9}$

단계 2.29

$\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} + 9}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 9)}$

단계 2.30

지수를 더하여 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.30.1

${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} + 9$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.30.1.1

$x^{2} + 9$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 9)}$

단계 2.30.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 2.30.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 2.30.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 2.30.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}})$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

단계 3.1.2.2

${({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

단계 3.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

단계 3.1.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3}{2}})$

단계 3.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}})$

단계 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.6.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7.2

${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.3.1

${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$f''' (x) = 9 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7.3.3

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 9 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

단계 3.7.4

$\frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $- 9$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 9}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 3.7.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.5.1

$3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{- 27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 3.7.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

단계 3.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

단계 3.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

단계 3.10

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 3.11

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

단계 3.11.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = - 2 \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 3.11.3

$- 2$ 와 $\frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 3.11.4

$- 2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{- 54}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

단계 3.11.5

$\frac{- 54}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{- 54 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.11.6

$- 54 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

$2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{- 27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (x) = - \frac{27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 27$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 의 미분은 $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 4.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

단계 4.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

${({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

단계 4.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.3.3

${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.4

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.4.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.8.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$\frac{5}{2}$ 와 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.9.2

$\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.10

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.12

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.13

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.13.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.13.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.13.3

$- 2$ 와 $\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.13.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.13.5

$\frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.18

$- 10 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.19

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.19.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.19.2

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.19.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.19.4

$- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.20

${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 에서 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.20.1

${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.20.2

${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.20.3

$- 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.20.4

${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ 에서 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.21

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.21.1

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.21.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 9) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.22

간단히 합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 9 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.23

$x^{2}$ 에서 $5 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

단계 4.24

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}}}$

단계 4.25

지수를 더하여 ${(x^{2} + 9)}^{5}$ 에 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.25.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

단계 4.25.2

공통 분모를 가지는 분수로 $5$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

단계 4.25.3

$5$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

단계 4.25.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

단계 4.25.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.25.5.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

단계 4.25.5.2

$10$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.26

$- 27$ 와 $\frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 27 (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.27

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{(27) (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.28

간단히 합니다.

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단계 4.28.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{27 (- 4 x^{2}) + 27 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.28.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.28.2.1

$- 4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{- 108 x^{2} + 27 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.28.2.2

$27$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$