미적분 예제

$x^{2} y + x y^{2} = 6$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} y + x y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.2.4

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

단계 2.3.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

단계 2.3.6

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x y y' + y^{2}$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

단계 3

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.1.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

단계 5.1.2

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

단계 5.2

$x^{2} y' + 2 x y y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$x^{2} y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

단계 5.2.2

$2 x y y'$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

단계 5.2.3

$x y' x + x y' (2 y)$ 에서 $x y'$ 를 인수분해합니다.

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

단계 5.3

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ 의 각 항을 $x (x + 2 y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ 의 각 항을 $x (x + 2 y)$ 로 나눕니다.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.2.2

$x + 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

단계 5.3.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

단계 5.3.3.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $x (x + 2 y)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.3.3.3.1

$\frac{2 y}{x + 2 y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

단계 5.3.3.3.2

$(x + 2 y) x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.5

$- y^{2} - 2 y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.3.5.1

$- y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.5.2

$- 2 y x$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.5.3

$y (- y) + y (- 2 x)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.6

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.7

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.8

$- (y) - (2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.9.1

$- (y + 2 x)$ 을 $- 1 (y + 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

단계 5.3.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$