미적분 예제

$x^{\frac{1}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\frac{1}{x}}$ 을 $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

단계 2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{\ln (x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $\frac{\ln (x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 6.4

분수를 통분합니다.

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단계 6.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 6.4.2

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ 와 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

단계 7.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$