미적분 예제

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = 1 - \ln (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.4.4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

단계 2.4.4.2

$- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.4.2.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

단계 2.4.4.2.2

$- 2 (1 - \ln (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

단계 2.4.4.2.3

$x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

단계 2.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

단계 2.6.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

단계 2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

단계 2.6.2.1.2.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 2.6.2.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 2.6.3

$- 3$ 을 $- 1 (3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 2.6.4

$\ln (x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

단계 2.6.5

$- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

단계 2.6.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.3.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 - \ln (x) = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \ln (x) = - 1$

단계 5.3.2

$- \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 5.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = 1$

단계 5.3.3

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

단계 5.3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{1} = x$

단계 5.3.5

$x = e^{1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 6.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 6.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = e$

단계 8

$x = e$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

단계 9.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

단계 9.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

단계 9.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

단계 9.5

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{e^{3}}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = e$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = e$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = e$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $e$ 을 대입합니다.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (e) = \frac{1}{e}$

단계 11.2.2

최종 답은 $\frac{1}{e}$ 입니다.

$y = \frac{1}{e}$

단계 12

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(e, \frac{1}{e})$ 은 극댓값임

단계 13